Operaciones con potencias

Por ejemplo: ¿podemos sumar potencias? Desgraciadamente no. Bueno, podemos sumarlas, pero lo que no podemos hacer es construir una potencia que sea la suma de otras dos. Vamos a poner un caso sencillo. Imaginemos que queremos hacer la suma 43 + 42. ¿Podemos escribir cuatro elevado a algo, y que eso sea la suma de 43 + 42? No, no podemos. Si hacemos la cuenta, 43 + 42 = 4 · 4 · 4 + 4 · 4 = 64 + 16 = 80. Hemos hecho la suma, pero 80 no es cuatro elevado a nada. Tenemos que hacer todas las cuentas para sumar dos potencias.

¿Y la multiplicación? Pues aquí sí hay una cosa que podemos hacer. La propiedad es la siguiente:

\displaystyle {\Large \pmb{x^a \cdot x^b=x^{a+b}}}

En otras palabras: que si tenemos un número x elevado a un número a, y lo multiplicamos por ese mismo número x elevado a otro número b, el resultado es el número x elevado a la suma de a y b. Te pongo unos ejemplos:

33 · 32 = 33+2 = 35

815 · 840 = 815+40 = 855

¿Sabrías explicar por qué? Vamos a hacer detalladamente el ejemplo de 33 · 32. Allá va: 33 · 32 = (3 · 3 · 3) · (3 · 3) = 3 · 3 · 3 · 3 ·3 (el tres multiplicado por sí mismo cinco veces, o sea, 35). Además, se ve claramente que si la base es distinta, ya no nos vale de nada. Si hacemos, por ejemplo, 33 · 42 nos daría (3 · 3 · 3) · (4 · 4), que es… pues eso, que no ganamos nada. No podemos multiplicarlas sumando los exponentes, como hacemos con las potencias de la misma base. Puedes hacer más ejemplos tú mismo.

Ejercicio 1. Resuelve los siguientes productos de potencias expresando el resultado también como una potencia (por ejemplo: 62 · 64 = 66)

a) 210 · 210=

b) 54 · 516=

c) 48 · 4116=

d) 2202 · 2209=

e) 100100 · 1001=

f) x5 · x8=

Muy bien. Ya sabemos que las potencias de la misma base se pueden multiplicar fácilmente con sólo sumar sus exponentes. Para dividir dos potencias, hacemos lo contrario: restamos sus exponentes. Por ejemplo:

\displaystyle \frac{3^3}{3^2}=3^{3-2}=3^1

\displaystyle \frac{8^{15}}{8^6}=8^{15-6}=8^{9}

En notación matemática: \displaystyle{\Large \pmb{\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}}}

Ahora tú:

Ejercicio 2. Resuelve las siguientes divisiones de potencias expresando el resultado también como una potencia

a) \displaystyle \bold{\frac{5^{16}}{5^4}=}

b) \displaystyle \bold{\frac{6^8}{6^7}=}

c) \displaystyle \bold{\frac{6^8}{6^8}=}

d) ¿Cuánto es 61? ¿Cuánto es cualquier número elevado a 1?

e) ¿Cuánto es 60? ¿Cuánto es cualquier número elevado a 0?

Estupendo, no está nada mal. Ya sabes multiplicar y dividir potencias de la misma base. Sabes directamente cuánto es uno elevado a cualquier número. Sabes directamente cuánto es lo contrario: cualquier número elevado a uno. Sabes directamente cuánto es cualquier número elevado a 0. Y nos queda una pregunta: ¿cuánto es cero elevado a cualquier número? Mmm… Sí, así es. Sigue siendo siempre cero. Vamos a escribir estas cosas que hemos aprendido en notación matemática:

  • \large \pmb{x^1=x} Cualquier número elevado a uno es el mismo número.
  • \large \pmb{1^x=1} Uno elevado a cualquier número es uno
  • \large \pmb{x^0=1} Cualquier número elevado a cero es uno
  • \large \pmb{0^x=0} Cero elevado a cualquier número es cero

Otra pregunta: ¿cuánto es 00? Porque 0 elevado a cualquier número es 0, pero cualquier número elevado a 0 vale 1. ¿Con cuál nos quedamos? ¿Es cero, o es uno? Pues 00 vale 1. En alguna entrada posterior veremos por qué decimos eso.

Bien, pues solo nos queda una cosa más: vamos a rizar el rizo. Vamos a ver como se hace una potencia elevada a otro exponente. Un ejemplo: tenemos cinco elevado a 3, y queremos elevar todo eso a 8. Así: (53)8. ¿Qué te parece?

Bueno, pues para hacer esto lo que hacemos es multiplicar los exponentes. En este caso tenemos que (53)8 = 53·8 = 524.

¿Cómo sabemos que es así? Pues verás: cinco elevado a tres son tres cincos. Si tres cincos los multiplicamos por sí mismos ocho veces, ¿cuántos cincos tenemos? Exacto: 24. Así que tendríamos 524. Cuéntalos tú mismo:

(5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5)

Dicho en notación matemática: \displaystyle \bold{\left (x^a \right )^b=x^{a \cdot b}}

¿Vale? Pero, ¡ojo! No lo confundas con esto otro: imagínate que tienes 38, y ahora quieres elevar cinco a 38. El resultado de esto no sería 524, sino 56561, porque 38 es 6561. Ves la diferencia, ¿no? (xa)b no es lo mismo que (x)^{a^b}. Esto es muy fácil confundirlo, pero no es lo mismo para nada. Vamos a ponerlo en grande para que se vea:

¡Mucho ojo!  \displaystyle \Large \pmb{\left (x^a \right )^b \neq (x)^{a^b}}  ¡Mucho ojo!

Ejercicio 3. Resuelve expresando el resultado como una potencia

a) 55 · 56 =

b) (55)6 =

c) \displaystyle \bold{\frac{7^8}{7^5}}

d) (34)1 =

e) (34)0 =

f) 34 · 30 =

Este es un momento perfecto para detenernos un momento y asentar bien los nuevos conocimientos, que nos hará falta para seguir adelante.

Próxima entrada:

>>> Jugando con la base

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Categorías: Potencias, raíces y logaritmos | 4 comentarios

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4 pensamientos en “Operaciones con potencias

  1. Felipe

    He caído en una manera algo más visual de ver que un número elevado a 0 es siempre 1. Veamos la siguiente tabla:

    \begin{array}{rcl}2^4&=&16\\2^3&=&8\\2^2&=&4\\2^1&=&2\end{array}

    Si nos fijamos, el resultado de cada fila es el de la fila anterior dividido por dos. Así que si continuamos con el mismo patrón…

    \begin{array}{rcl}2^4&=&16\\2^3&=&8\\2^2&=&4\\2^1&=&2\\2^0&=&1\end{array}

    Probemos con otra base:

    \begin{array}{rcl}3^4&=&81\\3^3&=&27\\3^2&=&9\\3^1&=&3\\3^0&=&1\end{array}

    En esta ocasión hemos ido dividiendo por 3 el resultado de la fila superior. Probemos uno más:

    \begin{array}{rcl}4^4&=&256\\4^3&=&64\\4^2&=&16\\4^1&=&4\\4^0&=&1\end{array}

    Probemos con el número que probemos, al llegar al exponente 0 el resultado siempre es 1.
    Muy visual, ¿verdad?

  2. Felipe

    Resultados del ejercicio 1:

    a) 2^{20}

    b) 5^{20}

    c) 4^{124}

    d) 220^{11}

    e) 100^{101}

    f) x^{13}

  3. Sita

    Me gustaría saber cómo se calcula una por ejemplo: 2 elevado a 4 y 3 elevado a 4: distinta base y distinto exponente.

    Gracias.

    sitavalles@yahoo.es

    • Felipe

      Bueno, en el ejemplo que has puesto las dos tienen el mismo exponente :)

      Si queremos multiplicar dos potencias con distinta base y distinto exponente, realmente hay muy poco que podamos hacer. Normalmente las dejaremos como están. Lo único que podríamos hacer sería algo así:
      Queremos multiplicar 3^4 \cdot 5^6. Lo único que podríamos hacer sería algo así: 3^4 \cdot 5^6=3^4 \cdot 5^4 \cdot 5^2=(3 \cdot 5)^4 \cdot 5^2=15^4 \cdot 5^2.
      Hemos expresado la potencia de mayor exponente como un producto de dos potencias en la que una de ellas tiene el mismo exponente que la anterior, y aprovechamos esa igualdad.
      Pero normalmente no ganaremos nada con hacer eso, así que normalmente lo dejaremos como estaba.
      Por supuesto, puede que alguna vez pueda resultarnos útil hacer algo así y no está de más tenerlo en cuenta.

      Otro posible caso más útil sería si una de las bases es potencia de la otra base. Por ejemplo, si queremos multiplicar 3^4 \cdot 9^5, como 9 es potencia de 3, porque 9=3^2, podríamos hacer 3^4 \cdot 9^5 =3^4 \cdot (3^2)^5=3^4 \cdot 3^{10}=3^{14}. Eso sí sería ventajoso.

      Un saludo

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