limites

Indeterminación 1 elevado a infinito

1^{\infty}

Antes de nada me gustaría hacer una aclaración que suele suponer una duda común: 1^{\infty}=1. Es decir, si multiplicamos 1 por sí mismo, por muchas veces que lo hagamos, siempre nos dará 1. En los límites, sin embargo, no tendremos el número 1 elevado a infinito, sino un número que tiende a 1, muy cercano a 1, elevado a infinito.

Existen dos métodos que nos permiten resolver esta indeterminación. El primero, que es el tradicional, se basa en conocer este límite:

\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e

y la estrategia consistirá en “dar forma” al límite que se nos pide para que se parezca a esta expresión.

El segundo método consiste en calcular el logaritmo del límite y luego “deshacer” dicho logaritmo. Lo veremos en otro artículo. Vamos con el primer método.

Supongamos que nos piden el límite

lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x+5}{2x-6}\right)^{\frac{x^2-2}{x+1}}

Observamos que el límite cuando x tiende a infinito del paréntesis es 1, mientras que el del exponente es infinito. Estamos ante el caso de indeterminación 1^{\infty}.

Si lo comparamos con \left(1+\frac{1}{x}\right)^x lo primero que vemos es que necesitamos un uno sumando. Pues vamos a sumarle 1 a nuestro límite, y también restaremos 1 para compensar. Así:

\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2x+5}{2x-6}-1\right)^{\frac{x^2-2}{x+1}}

Es lo mismo, ¿verdad? Vamos a “meter” el -1 dentro de la fracción:

\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2x+5}{2x-6}-\frac{2x-6}{2x-6}\right)^{\frac{x^2-2}{x+1}}

\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2x+5-2x+6}{2x-6}\right)^{\frac{x^2-2}{x+1}}

\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{11}{2x-6}\right)^{\frac{x^2-2}{x+1}}

Volvemos a comparar con \left(1+\frac{1}{x}\right)^x. Necesitamos un 1 en el numerador. Para ello, obtendremos una fracción equivalente dividiendo por 11 tanto el numerador como el denominador:

\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{11/11}{(2x-6)/11}\right)^{\frac{x^2-2}{x+1}}

\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{(2x-6)/11}\right)^{\frac{x^2-2}{x+1}}

Listo. Volvemos a comparar \left(1+\frac{1}{x}\right)^x con nuestro límite. Ahora necesitamos tener en el exponente la misma expresión que en el denominador. Lo que vamos a hacer es colocar en el exponente la fracción \frac{2x-6}{11} pero la multiplicaremos por su inversa, \frac{11}{2x-6} para que se cancelen entre sí. Tendremos que escribir también el exponente original. Así:

\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{(2x-6)/11}\right)^{\frac{2x-6}{11}\frac{11}{2x-6}\frac{x^2-2}{x+1}}

Observa que en el exponente se cancelan las fracciones que hemos añadido, así que en realidad tenemos la misma expresión que hemos tenido siempre. Ahora compara lo siguiente:

\lim_{x\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{(2x-6)/11}\right)^{\frac{2x-6}{11}}\right)^{\frac{11}{2x-6}\frac{x^2-2}{x+1}}

\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x

¿Observas que la forma de la parte entre paréntesis de la primera expresión es igual a la forma de la segunda? Bueno, como \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e, podemos sustituir todo el paréntesis por el número e así:

\lim_{x\to\infty}e^{\frac{11}{2x-6}\frac{x^2-2}{x+1}}

y seguir a lo nuestro:

\lim_{x\to\infty}e^{\frac{11(x^2-2)}{(2x-6)(x+1)}}

\lim_{x\to\infty}e^{\frac{11x^2-22}{2x^2-4x-6}}=\boxed{e^{11/2}}

que es el resultado final.

Resumimos los pasos:

  1. Sumar 1 y restar 1 (sumamos por la izquierda y restamos por la derecha) en la expresión de la base.
  2. Introducir el -1 en la fracción que tenemos en la base (si es que tenemos una fracción).
  3. Dividimos numerado y denominador entre la expresión del numerador. Así, tendremos un 1 en el numerador.
  4. En el exponente, escribimos el denominador, multiplicado por la inversa del denominador, y multiplicado por el exponente original
  5. Toda la parte de la base elevada al denominador la sustituimos por el número e y seguimos desarrollando el límite normalmente.

Todos estos pasos pueden resumirse en una fórmula, si nos gustan las fórmulas y nos resulta sencillo recordarlas, que es la siguiente:

\lim_{x\to\infty}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^{h(x)}=\lim_{x\to\infty}e^{h(x)\left(\frac{f(x)}{g(x)}-1\right)}

Vamos con otro ejemplo:

\lim_{x\to 1}\left(\frac{2x+1}{3}\right)^{\frac{x+1}{x-1}}

Si reemplazamos x por el valor 1, obtenemos una base igual a 1 y un exponente infinito. Estamos en el mismo caso.

Sumamos y restamos 1:

\lim_{x\to 1}\left(1+\frac{2x+1}{3}-1\right)^{\frac{x+1}{x-1}}

Incluimos en -1 en la fracción:

\lim_{x\to 1}\left(1+\frac{2x+1}{3}-\frac{3}{3}\right)^{\frac{x+1}{x-1}}

\lim_{x\to 1}\left(1+\frac{2x-2}{3}\right)^{\frac{x+1}{x-1}}

Dividimos numerado y denominador por (2x – 2):

\lim_{x\to 1}\left(1+\frac{1}{3/(2x-2)}\right)^{\frac{x+1}{x-1}}

En el exponente, escribimos el denominador, multiplicado por la inversa del denominador, y multiplicado por el exponente original:

\lim_{x\to 1}\left(1+\frac{1}{3/(2x-2)}\right)^{\frac{3}{2x-2}\frac{2x-2}{3}\frac{x+1}{x-1}}

Toda la parte de la base elevada al denominador la sustituimos por el número e y seguimos desarrollando el límite normalmente:

\lim_{x\to 1}e^{\frac{2x-2}{3}\frac{x+1}{x-1}}

\lim_{x\to 1}e^{\frac{2(x-1)}{3}\frac{x+1}{x-1}}

\lim_{x\to 1}e^{\frac{2}{3}(x+1)}=\boxed{e^{4/3}}

¿Tienes algún límite en el que aparezca el caso 1 elevado a infinito (1^{\infty})  que sea un buen ejemplo, o que te resulte difícil de hallar? ¡Coméntalo! Tal vez quieres echar un ojo a este atículo sobre cómo escribir fórmulas.

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Indeterminación infinito partido infinito

\dfrac{\infty}{\infty}

La indeterminación \dfrac{\infty}{\infty} es una de las más fáciles de tratar. Es especialmente sencilla si se trata de un cociente de polinomios. En ese caso, solo debemos fijarnos en cuál es el grado del numerador y cuál es el grado del denominador.

Cociente de polinomios

  • Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, el límite es infinito.
  • Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, el límite es cero.
  • Si el grado del numerador es igual al grado del denominador, dividimos los coeficientes líderes.

Veamos algunos ejemplos.

\lim_{x\to\infty}\frac{3x^3-2x^2+5x-6}{x^2+2}=\infty

porque el grado del numerador es mayor que el del denominador.

\lim_{x\to\infty}\frac{-3x^3-2x^2+5x-6}{x^2+2}=-\infty

Atención al signo negativo. La mayor potencia del numerador es negativa, mientras que la mayor potencia del denominador es positiva. Como más entre menos es menos, el resultado del cociente debe ser negativo.

\lim_{x\to\infty}\frac{3x^3-2x^2+5x-6}{-x^2+2}=-\infty

La mayor potencia del numerador es positiva, mientras que la mayor potencia del denominador es negativa. El resultado del cociente debe ser negativo.

\lim_{x\to\infty}\frac{-3x^3-2x^2+5x-6}{-x^2+2}=+\infty

La mayor potencia tanto en el numerador como en el denominador es negativa, de modo que el resultado es positivo (menos entre menos).

\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+2}{3x^3-2x^2+5x-6}=0

El grado del numerador es menor que el grado del denominador, así que el resultado es 0.

\lim_{x\to\infty}\frac{-x^2+2}{3x^3-2x^2+5x-6}=0

En este caso no nos importan los signos. El cero no tiene signo.

Vamos con los casos en que numerador y denominador tienen el mismo grado.

\lim_{x\to\infty}\frac{x^3+2}{3x^3-2x^2+5x-6}=\frac13

\lim_{x\to\infty}\frac{-x^3+2}{3x^3-2x^2+5x-6}=\frac{-1}{3}

\lim_{x\to\infty}\frac{3x^3-2x^2+5x-6}{x^3+2}=3

\lim_{x\to\infty}\frac{-3x^3-2x^2+5x-6}{x^3+2}=-3

\lim_{x\to\infty}\frac{3x^3-2x^2+5x-6}{-x^3+2}=-3

\lim_{x\to\infty}\frac{-3x^3-2x^2+5x-6}{-x^3+2}=3

Como ves, un límite en el infinito de un cociente de polinomios es muy sencillo. Vamos a ver algunos casos un poco menos sencillos. ¿Qué pasa con las raices?

Cociente con raices

\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{9x^2-2x+1}}{2x+2}=\frac32

En este caso, aunque no lo parezca, el numerador y el denominador tienen el mismo grado. El grado del denominador está claro: es 1. ¿Por qué el grado del numerador también es 1? Porque el polinomio 9x² -2x +1 está afectado por una raiz cuadrada. El término de mayor grado es 9x², pero al estar dentro de una raiz equivale a 3x, de manera que dividomos 3 por 2 y obtenemos el \dfrac32  del resultado.

Te pongo algunos ejemplos más:

\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{3x^2-2x+1}}{2x+2}=\frac{\sqrt 3}{2}

\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{3x^2-2x+1}}{\sqrt{2x+2}}=\infty

(el grado del numerador es 1, el grado del denominador es 1/2)

\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{3x-2x+1}}{2x+2}=0

\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{9x^2-2x+1}+\sqrt{4x+1}}{\sqrt{2x+2}}=\frac32

\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{9x^2-2x+1}+\sqrt{4x^2+1}}{\sqrt{2x+2}}=\frac{3+2}{2}=\frac52

Otros casos

Si el cociente no es de polinomios, no podemos utlizar el criterio del grado para resolver la indeterminación. En la mayoría de los casos, podremos utilizar la regla de L’Hôpital. La regla de L’Hôpital nos dice que cuando tenemos una indeterminación infinito partido infinito o una indeterminación cero partido cero, el límite será el mismo que el que obtenemos al derivar tanto el numerador como el denominador. Por ejemplo:

\lim_{x\to\infty}\frac{e^x+x^2-3}{e^x+5x}

Podemos sentirnos tentados a pensar que el grado del numerador es mayor que el denominador, y que por lo tanto el límite es infinito. Pero ojo: ni el numerado ni el denominador son polinomios; contienen polinomios, pero no lo son.

Derivamos el numerador por un lado y el denominador por otro:

\lim_{x\to\infty}\frac{e^x+x^2-3}{e^x+5x}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x+2x}{e^x+5}

Seguimos teniendo infinito partido infinito. volvemos a aplicar la regla de L’ôpital sucesivamente…

\lim_{x\to\infty}\frac{e^x+2x}{e^x+5}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x+2}{e^x}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{e^x}=1

y el límite resulta ser 1.

¿Tienes algún límite en el que aparezca el caso infinito partido infinito (\frac{\infty}{\infty})  que sea un buen ejemplo, o que te resulte difícil de hallar? ¡Coméntalo! Tal vez quieres echar un ojo a este atículo sobre cómo escribir fórmulas.

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Caso constante partido cero en límites

\dfrac{C}{0}

Vamos a ver la gráfica de este tipo de funciones. Esta es la gráfica de la función f(x)=\frac{1}{x}:

Gráfica de la función f(x) = 1 / x

Gráfica de la función f(x) = 1 / x

¿Cuál será el límite cuando x tiende a 0 de esta función? Bueno, si nos acercamos a x=0 desde la derecha, lo que observamos es que la gráfica, f(x), la y, como queramos llamarla, sube hasta el infinito. No podemos dividir por cero. Pero, ¿qué pasa si dividimos por un número muy, muy pequeño; muy cercano al cero? Pues que obtenemos un número enorme. Cuanto más pequeño sea el número por el que dividimos, más grande es el resultado. Sin límite.

Si nos acercamos a x=0 desde la izquierda, la función tiende a menos infinito. De nuevo, si probamos a dividir por un número muy, muy pequeño, casi cero, pero negativo, obtendremos un número negativo enorme.

Así que cuando dividimos por cero tendremos que separar dos casos: el límite por la izquierda y el límite por la derecha. La razón es que la derecha y la izquierda del cero tienen signos distintos, y por lo tanto al operar pueden uno de estos dos resultados: +∞ o -∞. Estas son las únicas dos posibilidades.

Si ambos límites laterales coinciden, decimos que el límite existe. Si no coinciden, el límite no existe. Veamos unos ejemplos:

  • \displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{x}{x-3}

\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{x}{x-3}=\frac{3}{0}

En este punto, calculamos los límites laterales. Empezamos por el límite por la izquierda, que se denota \lim_{x\to n^-}:

\displaystyle \lim_{x\to 3^-}\frac{x}{x-3}=\frac{3^-}{3^--3}

Lo pensamos así:

  • Arriba, en el numerador, tenemos un número prácticamente igual a 3, aunque un poco menor. Sigue siendo positivo.
  • Abajo tenemos un número casi igual a 3, aunque un poco menor, al que le restamos 3. El resultado será un poco menor que 0.

\dfrac{3^-}{3^--3}=\frac{3^-}{0^-}=-\infty

El numerador es positivo, y el denominador negativo. Por lo tanto, el resultado es negativo.

Ahora calculamos el límite por la derecha, que se denota \lim_{x\to n^+}:

\displaystyle \lim_{x\to 3^+}\frac{x}{x-3}=\frac{3^+}{3^+-3}

Lo pensamos así:

  • Arriba, en el numerador, tenemos un número prácticamente igual a 3, aunque un poco mayor. Sigue siendo positivo.
  • Abajo tenemos un número casi igual a 3, aunque un poco mayor, al que le restamos 3. El resultado será un poco mayor que 0.

\dfrac{3^+}{3^+-3}=\frac{3^+}{0^+}=+\infty

El numerador es positivo, y el denominador también es positivo. Por lo tanto, el resultado es positivo.

 Y como los límites laterales no coinciden, el límite \displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{x}{x-3} no existe.

Otro ejemplo:

  • \displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{x}{(x-3)^2}

\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{x}{(x-3)^2}=\frac{3}{0}

Al encontrarnos con el caso C / 0, calculamos los límites laterales. Empezamos por la izquierda:

  • \displaystyle \lim_{x\to 3^-}\frac{x}{(x-3)^2}=\frac{3^-}{(3^--3)^2}

Ahora observa una cosa: el numerador es positivo, y el denominador también es positivo por estar elevado al cuadrado. Con esto nos bastaría para saber que \displaystyle \lim_{x\to 3^-}\frac{x}{(x-3)^2}=+\infty (recordemos que solo podemos obtener +∞ o -∞). De todas formas, vamos a desarrollarlo por si no te convence:

\dfrac{3^-}{(3^--3)^2}=\dfrac{3^-}{(0^-)^2}=\dfrac{3^-}{0^+}=+\infty

Bueno, vamos a por el límite lateral derecho:

  • \displaystyle \lim_{x\to 3^+}\frac{x}{(x-3)^2}=\frac{3^+}{(3^+-3)^2}

De nuevo, observamos que tanto el numerador como el denominador son positivos, por lo tanto \displaystyle \lim_{x\to 3^+}\frac{x}{(x-3)^2}=+\infty.

Como los dos límites laterales son iguales,

\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{x}{(x-3)^2}=+\infty

¿Tienes algún límite en el que aparezca el caso constante partido 0 (C / 0)  que sea un buen ejemplo, o que te resulte difícil de hallar? ¡Coméntalo! Tal vez quieres echar un ojo a este atículo sobre cómo escribir fórmulas.

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