Indeterminación cero partido cero

$\dfrac00$

Tenemos tres posibles estrategias:

Factorizar.

Por ejemplo, supongamos que tenemos el límite

$\displaystyle\lim_{x\to 4} \dfrac{x^2-2x-8}{x^2-x-12}$

Cuando sustituimos el valor 4 en x (decimos que evaluamos la expresión para x = 4), tenemos que el numerador vale 4² – 2·4 – 8 = 16 – 8 – 8 = 0, y el denominador vale 4² – 4 – 12 = 0, así que tenemos una indeterminación 0 / 0.

Factorizamos el numerador resolviendo la ecuación asociadas: x^2 – 2x – 8 = 0; $x=\dfrac{2\pm\sqrt{2^2+4\cdot 8}}{2}$ ; x={-2,4}. Así que tenemos que x²-2x-8 = (x+2)(x-4).

Por otro lado factorizamos el denominador: x² – x – 12 = 0; $x=\dfrac{1\pm\sqrt{1^2+4\cdot 12}}{2}$ ; x={-3,4}. Así que tenemos que x²-x-12 = (x+3)(x-4).

$\displaystyle\lim_{x\to 4} \dfrac{x^2-2x-8}{x^2-x-12}=\lim_{x\to 4}\dfrac{(x+2)(x-4)}{(x+3)(x-4)}$ .

Como los factores (x-4) que hay tanto en el numerador como en el denominador, nos queda que ese límite es igual a

$\displaystyle=\lim_{x\to 4}\dfrac{(x+2)}{(x+3)}=\dfrac{4+2}{4+3}=\dfrac67$ .

y ya tenemos nuestra indeterminación sorteada.

Siempre que tengamos una fracción con polinomios podremos factorizarla y aparecerán términos que al cancelarse resuelvan la indeterminación.

Multiplicar y dividir por el conjugado

Esto suele ser una buena idea cuando aparecen restas que implican raíces cuadradas. Por ejemplo,

$\displaystyle \lim_{x\to 3}\dfrac{\sqrt x-3}{x-9}$

Observamos que al sustituir (siempre hay que intentarlo) obetenemos una indeterminación 0 / 0. También observamos que en el numerador (lo mismo daría si fuera en el denominador) aparece una resta con una raíz cuadrada involucrada.

El conjugado de $\sqrt x-3$ es $\sqrt x+3$ , así que multiplicamos y dividimos por el conjugado del numerador:

$\displaystyle \lim_{x\to 3}\dfrac{\sqrt x-3}{x-9}\cdot\dfrac{\sqrt x+3}{\sqrt x+3}$

y hacemos la multiplicación. Arriba tenemos una suma por diferencia que reconoceremos si recordamos las llamadas «igualdades notables» y recordaremos que es igual a la «diferencia de cuadrados». En cualquier caso, aunque no recordemos las igualdades notables, si hacemos el producto obtenemos

$\displaystyle \lim_{x\to 3}\dfrac{x-9}{(x-9)(\sqrt x+3)}$

De nuevo, el factor (x-9) que aparece tanto en el numerador como en el denominador se cancela, quedando

$\displaystyle \lim_{x\to 3}\dfrac{1}{\sqrt x+3}=\dfrac{1}{\sqrt 9+3}=\dfrac16$

Y otra indeterminación sorteada.

Regla de L’Hôpital

Para aplicar la regla de L’Hôpital necesitamos saber derivar. Esta regla será aplicable siempre que aparezca la indeterminación $\frac00$ o $\latex \frac{\infty}{\infty}$, aunque no siempre será la más oportuna.

Supongamos que tenemos el límite

$\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}$

Aquí no podemos aplicar ninguna de las estrategias anteriores.

La regla de L’Hôpital dice que si derivamos independientemente el numerador por un lado, y el denominador por otro, obtendremos otra expresión que tendrá el mismo límite.

Vamos a ver. En el numerador tenemos sen x. Su derivada es cos x. Por otro lado, en el denominador tenemos x, cuya derivada es 1. Entonces,

$\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\cos x}{1}=\dfrac11=1$

y listo.

A veces puede ser necesario aplicar la regla de L’Hôpital dos o más veces. Por ejemplo,

$\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-x-1}{x^2}=\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{2x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x}{2}=\dfrac{e^0}{2}=\dfrac12$

¿Tienes algún límite en el que aparezca la inteterminación 0/0 que sea un buen ejemplo, o que te resulte difícil de hallar? ¡Coméntalo! Tal vez quieres echar un ojo a este atículo sobre cómo escribir fórmulas.

Indeterminación cero partido cero

Navegador de artículos

Deja un comentario Cancelar la respuesta

Buscar

Entradas recientes

Categorías

Indeterminación cero partido cero

Comparte esto:

Relacionado

Navegador de artículos

Deja un comentario Cancelar la respuesta

Buscar

Entradas recientes

Categorías